✅ Para hallar la recta perpendicular a otra que pasa por un punto, invierte la pendiente, cambia su signo y usa la ecuación punto-pendiente.
Para encontrar la recta perpendicular que pasa por un punto dado, es fundamental comprender algunos conceptos básicos de la geometría analítica. Si contamos con una recta que tiene una pendiente m, la pendiente de la recta perpendicular será -1/m. Esto se debe a que las pendientes de dos rectas perpendiculares son inversamente proporcionales y de signo opuesto.
Por ejemplo, si tenemos una recta con una pendiente de 2, la pendiente de la recta perpendicular será -1/2. Una vez que tenemos la pendiente de la nueva recta, podemos usar la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta para encontrar su ecuación. La forma punto-pendiente se expresa como:
y – y₁ = m(x – x₁)
donde (x₁, y₁) es el punto por el que pasa la recta y m es la pendiente de la recta.
Pasos para encontrar la recta perpendicular
- Identificar la pendiente de la recta original: Si tienes la ecuación de la recta en forma y = mx + b, simplemente toma el valor de m.
- Calcular la pendiente de la recta perpendicular: Aplica la fórmula -1/m para obtener la nueva pendiente.
- Usar el punto dado: Toma las coordenadas del punto por el que deseas que pase la recta perpendicular.
- Aplicar la forma punto-pendiente: Sustituye la pendiente y las coordenadas del punto en la ecuación.
Ejemplo práctico
Supongamos que queremos encontrar la recta perpendicular a y = 3x + 2 que pasa por el punto (1, 4). Primero, identificamos que la pendiente de la recta original es 3. Por lo tanto, la pendiente de la recta perpendicular será -1/3.
Ahora sustituimos en la forma punto-pendiente:
y – 4 = -1/3(x – 1)
Desarrollando la ecuación, obtenemos:
y – 4 = -1/3x + 1/3
y = -1/3x + 13/3
Así, la ecuación de la recta perpendicular que pasa por el punto (1, 4) es y = -1/3x + 13/3.
Determinación de la pendiente de la recta original para hallar la perpendicular
Para encontrar la recta perpendicular que pasa por un punto dado, es fundamental primero determinar la pendiente de la recta original. Esto se debe a que las rectas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocas negativas. A continuación, se explica el proceso paso a paso:
1. Identificación de la pendiente de la recta original
La pendiente de una recta se puede calcular utilizando la fórmula:
m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
donde:
- m es la pendiente de la recta.
- (x1, y1) y (x2, y2) son dos puntos distintos en la recta.
Por ejemplo, si tenemos los puntos A(2, 3) y B(5, 7), la pendiente se calcularía de la siguiente manera:
m = (7 – 3) / (5 – 2) = 4 / 3
2. Cálculo de la pendiente de la recta perpendicular
Una vez que conocemos la pendiente de la recta original, podemos determinar la pendiente de la recta perpendicular, que se calcula como:
m_perpendicular = -1 / m
Usando el ejemplo anterior, la pendiente de la recta perpendicular sería:
m_perpendicular = -1 / (4/3) = -3/4
3. Ecuación de la recta perpendicular
Conociendo la pendiente de la recta perpendicular y un punto por el que pasa (digamos P(1, 2)), podemos utilizar la forma punto-pendiente para escribir la ecuación de la recta:
y – y1 = m(x – x1)
Donde:
- (x1, y1) es el punto dado.
- m es la pendiente de la recta perpendicular.
Aplicando nuestros valores:
y – 2 = -3/4(x – 1)
Esto se puede simplificar y reordenar para encontrar la forma estándar de la ecuación de la recta perpendicular.
Ejemplo práctico
Consideremos que tenemos una recta que pasa por los puntos A(2, 3) y B(5, 7). Siguiendo los pasos mencionados:
- Calculamos la pendiente de la recta original: m = 4/3.
- Determinamos la pendiente de la recta perpendicular: m_perpendicular = -3/4.
- Si queremos la recta perpendicular que pasa por el punto P(1, 2), la ecuación sería: y – 2 = -3/4(x – 1).
Convertir esta ecuación a su forma estándar resulta en una comprensión más clara de cómo se relacionan las pendientes y cómo se pueden construir rectas perpendiculares en el plano cartesiano.
Resumen
La determinación de la pendiente de la recta original es un paso crucial para hallar la recta perpendicular. Este proceso no solo es fundamental en la geometría, sino que también tiene aplicaciones prácticas en campos como la arquitectura, la ingeniería y el diseño gráfico.
Uso de la fórmula punto-pendiente para obtener la ecuación de la perpendicular
La fórmula punto-pendiente es una herramienta esencial en la geometría analítica que nos permite encontrar la ecuación de una recta cuando conocemos un punto por el que pasa y su pendiente. En el caso de las rectas perpendiculares, es crucial recordar que la pendiente de una recta perpendicular es el inverso negativo de la pendiente de la recta original.
Pasos para encontrar la ecuación de la recta perpendicular
- Identificar la pendiente de la recta original: Supongamos que la ecuación de la recta original es y = mx + b, donde m es la pendiente.
- Calcular la pendiente de la recta perpendicular: Si la pendiente de la recta original es m, la pendiente de la recta perpendicular será -1/m.
- Utilizar la fórmula punto-pendiente: Si tenemos un punto (x_0, y_0) por el que debe pasar la perpendicular, la fórmula es: y – y_0 = m'(x – x_0), donde m’ es la pendiente de la recta perpendicular.
Ejemplo práctico
Supongamos que tenemos la recta y = 2x + 3 y queremos encontrar la ecuación de la recta perpendicular que pasa por el punto (1, 4).
- La pendiente de la recta original (m = 2).
- La pendiente de la perpendicular será -1/2.
- Usamos la fórmula punto-pendiente:
- Insertando los valores: y – 4 = -1/2(x – 1)
- Desarrollando, obtenemos: y = -1/2x + 4.5.
Por lo tanto, la ecuación de la recta perpendicular que pasa por el punto (1, 4) es y = -1/2x + 4.5.
Resumen de la fórmula punto-pendiente
| Variable | Descripción |
|---|---|
| m | Pendiente de la recta original |
| -1/m | Pendiente de la recta perpendicular |
| (x_0, y_0) | Punto dado por el que pasa la perpendicular |
| y – y_0 = m'(x – x_0) | Fórmula punto-pendiente |
Recuerda que dominar la fórmula punto-pendiente te permitirá resolver problemas geométricos con mayor facilidad y precisión, especialmente cuando se trata de encontrar rectas perpendiculares.
Preguntas frecuentes
¿Qué es una recta perpendicular?
Una recta perpendicular es aquella que forma un ángulo de 90 grados con otra recta.
¿Cómo se determina la pendiente de una recta perpendicular?
La pendiente de una recta perpendicular es el negativo recíproco de la pendiente de la recta original.
¿Qué fórmula se usa para encontrar la ecuación de la recta?
Se utiliza la fórmula de la pendiente-intersección: y = mx + b, donde m es la pendiente y b es la intersección con el eje y.
¿Cómo se encuentra el punto de intersección?
Se igualan las ecuaciones de ambas rectas y se resuelve para encontrar el punto de intersección.
¿Qué datos se necesitan para encontrar la recta perpendicular?
Se necesita la pendiente de la recta original y las coordenadas del punto por el que debe pasar la nueva recta.
| Punto | Pendiente Original (m) | Pendiente Perpendicular (-1/m) | Ecuación de la Recta Perpendicular |
|---|---|---|---|
| (x1, y1) | m | -1/m | y – y1 = (-1/m)(x – x1) |
| Ejemplo: (2, 3) | 2 | -1/2 | y – 3 = (-1/2)(x – 2) |
| Ejemplo: (1, -1) | 3 | -1/3 | y + 1 = (-1/3)(x – 1) |
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